题目

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点.若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（　　）
A.

5 +1

2

B.

5 −1

2

C.

5 +1

4

D.

5 −1

4

提问时间：2021-03-30

答案

∵AB⊥BF，
∴k_AB•k_BF=-1，即

b

a

•（-

b

c

）=-1，即b²=ac，
∴a²-c²=ac，两边同除以a²，得e²+e-1=0，
∴e=

−1± 5

2

（舍负），
故选B．

先AB于BF垂直判断出两直线的斜率乘积为-1，进而求得b于a，c的关系，利用a²-c²=b²进而替换消去b，进而求得a和c的关系式，则椭圆的离心率可求．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．应熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，及离心率，准线方程，焦点坐标等基础知识．