题目

已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点
（1）求证：FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

提问时间：2021-03-30

答案

（1）证明：连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=EF
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵

AD＝BC ∠DAF＝∠CBF AF＝BF

∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；
（2）∵AC=CE，∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴∠BAC=30°，
∴BC=BE=

1

2

CE=4
∴根据勾股定理AB=4

3

∴梯形AECD的面积=

1

2

×(AD+CE)×CD=

1

2

×(4+8)×4

3

=24

3

．

要证明FG=FH，证明∠FGH=∠FHG即可，因为ABCD为矩形，AB∥CD，所以只要证明∠FDC=∠FCD即可证得．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；梯形．

考点点评：本题有多种证明方法，例如从F点向CD引垂线．灵活的作辅助线是解题的关键．