题目

对数法求导数的自定义限制
用对数法求导取lnf(x)的时候,无形中就限制了f(x)的值域,也就无法避免的限制了x的定义域,而原式的自定义可以是R的,这种情况下就已经改变了原式的意义,可是做出来的结果却和直接求导的结果是一样的（我没有遇到不一样的情况）而且几乎所有的书都没有在这进行解释,这是怎么回事?解题的方法已经缩小了自定义,可能出现丢根缺解的情况,可为什么这个却没有?那用对数法求导到底有没有约束?我个人能力有限,

提问时间：2021-03-30

答案

全部取绝对值就OK了
比如y=uvw,一般取对数都是这种乘积形式
因为ln|y|=y'/y,不管y是否大于0,最后都是y'/y
ln|y|=ln|u|+ln|v|+ln|w|
求导
y'/y=u'/u+v'/v+w'/w
y=uvw(u'/u+v'/v+w'/w)
而这个式子刚好也限定了u,v,w,y皆不等于0,所以对定义域的限制也仅仅在此.
但如果把uvw乘进去,得到
y=u'vw+v'uw+w'uv
恰好就是直接求导的形式.因此最后对定义域无限制.
（如果写成y=uvw(u'/u+v'/v+w'/w) ,是有限制的.但是一般写成这种形式就够了,最简单.）