题目

三点共线定理的证明

提问时间：2021-03-30

答案

如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ,使得 b=λa.
　证明：
1）充分性,对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由 实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线.
2）必要性,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣.那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa.如果b=0,那么λ=0.
3）唯一性,如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0.但因a≠0,所以 λ=μ.
　证毕.