题目

100分悬赏直线两点式与圆求交点的问题
已知两的点的坐标(x1,y1),(x2,y2)和一个圆,圆心坐标为（a,b）,半径为R,且直线和圆相交.求其两个交点的坐标,要求交点坐标用已知参数表示.（注：已知参数为x1,x2,y1,y2,a,b,R）
已知两个圆相交,两个圆的圆心分别为（a,b）和（c,d）,半径分别为R和r.求其交点坐标,要求交点坐标用已知参数表示（注：已知参数为c,d,a,b,r,R）
希望能写的详细一些,比如 a+b/c+d;之类的式子希望能写清楚,到底是a+(b/c)+d 还是((a+b)/c)+d,还是a+(b/(c+d)).本人100分诚心求教!
我需要的是答案，请算出来！用已知参数表示！

提问时间：2021-03-30

答案

1,
过2点的直线方程为 (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1).
圆的方程为 (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.
若 x2 = x1,y2不等于y1.
直线方程为 x = x1.
(x1-a)^2 + (y-b)^2 = R^2,
(y-b)^2 = R^2 - (x1-a)^2>=0.
y = b+[R^2 - (x1-a)^2]^(1/2)或
y = b-[R^2 - (x1-a)^2]^(1/2).
交点坐标为
(x1,b+[R^2 - (x1-a)^2]^(1/2))或
(x1,b-[R^2 - (x1-a)^2]^(1/2)).
若 x2不等于x1,y2=y1.
直线方程为 y = y1.
(x-a)^2 + (y1-b)^2 = R^2,
(x-a)^2 = R^2 - (y1-b)^2>=0.
x = a+[R^2 - (y1-b)^2]^(1/2)或
x = a-[R^2 - (y1-b)^2]^(1/2).
交点坐标为
(a+[R^2 - (y1-b)^2]^(1/2),y1)或
(a-[R^2 - (y1-b)^2]^(1/2),y1).
当(x1-x2)(y1-y2)不等于0时,
x = x1 + (y-y1)(x2-x1)/(y2-y1).
[x1 + (y-y1)(x2-x1)/(y2-y1)-a]^2 + (y-b)^2 = R^2,
[x1-a]^2 + (y-y1)^2[(x2-x1)/(y2-y1)]^2 + 2(y-y1)(x1-a)(x2-x1)/(y2-y1) + (y-y1)^2 + (y1-b)^2 + 2(y-y1)(y1-b) = R^2,
(y-y1)^2{1 + [(x2-x1)/(y2-y1)]^2} + 2(y-y1)[(y1-b) + (x1-a)(x2-x1)/(y2-y1)] + [(x1-a)^2 + (y1-b)^2 - R^2] = 0,
记,
u = [(y1-b) + (x1-a)(x2-x1)/(y2-y1)]/{1 + [(x2-x1)/(y2-y1)]^2},
v = [(x1-a)^2 + (y1-b)^2 - R^2]/{1 + [(x2-x1)/(y2-y1)]^2}
(y-y1)^2 + 2(y-y1)u + v = 0,
4u^2 - 4v = 4(u^2 - v) >= 0
t = (u^2 - v)^(1/2).
y = y1 + t,x = x1 + (y-y1)(x2-x1)/(y2-y1) = x1 + t(x2-x1)/(y2-y1).或
y = y1 - t,x = x1 + (y-y1)(x2-x1)/(y2-y1) = x1 - t(x2-x1)/(y2-y1).
交点坐标为
(x1 + t(x2-x1)/(y2-y1),y1+t)或
(x1 - t(x2-x1)/(y2-y1),y1-t).
其中,
t = (u^2 - v)^(1/2),
u = [(y1-b) + (x1-a)(x2-x1)/(y2-y1)]/{1 + [(x2-x1)/(y2-y1)]^2},
v = [(x1-a)^2 + (y1-b)^2 - R^2]/{1 + [(x2-x1)/(y2-y1)]^2}.
2,
要解2元2次方程组,