题目

已知抛物线y=x2与动直线y=（2t-1）x-c有公共点( x1 ,y1 ),(x2,y2),x12+x22=t2+2t-3.求实数t的取值范围；

提问时间：2021-03-30

答案

（1）联立y=x2与y=（2t-1）x-c,
消去y得二次方程x2-（2t-1）x+c=0①
有实数根x1,x2,则x1+x2=2t-1,x1x2=c．
所以c=x1x2=
1
2
[(x1+x2)2-(
x 21
+
x 22
)]
=
1
2
[(2t-1)2-(t2+2t-3)]=
1
2
(3t2-6t+4)②
把②式代入方程①得x2-(2t-1)x+
1
2
(3t2-6t+4)=0③
t的取值应满足t2+2t-3=x12+x22≥0,④
且使方程③有实数根,即△=（2t-1）2-2（3t2-6t+4）=-2t2+8t-7≥0,⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1,
解不等式⑤得2-
2
2
≤t≤2+
2
2
．
所以,t的取值范围为2-
2
2
≤t≤2+
2
2
．⑥
（2）由②式知c=
1
2
(3t2-6t+4)=
3
2
(t-1)2+
1
2
．
由于c=
3
2
(t-1)2+
1
2
在2-
2
2
≤t≤2+
2
2
时是递增的,
所以,当t=2-
2
2
时,cmin=
3
2
(2-
2
2
-1)2+
1
2
=
11-62
4
．
答：当t=2-
2
2
时,c有最小值：cmin=
3
2
(2-
2
2
-1)2+
1
2
=
11-62
4 ．