题目
设f(x)在[a,b]上一阶可导在,(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,
f'(a)×f'(b)>0,证明:存在c,使得f''(c)=f(c)
f'(a)×f'(b)>0,证明:存在c,使得f''(c)=f(c)
提问时间:2021-03-29
答案
不妨设f'(a) > 0, 由f'(x)可导故连续, f’(x)在a的一个邻域内 > 0.
f(x)在a的一个邻域内严格增, 在其中有f(x) > f(a) = 0.
同理, 在b的一个邻域内有f(x) < f(b) = 0.
而f(x)连续, 由介值定理, 存在r∈(a,b), 使f(r) = 0.
考虑g(x) = f(x)·e^(-x).
由g(x)在[a,r]连续, 在(a,r)可导, g(a) = g(r) = 0.
由罗尔定理, 存在s∈(a,r), 使g'(s) = 0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s) = 0, 即有f'(s)-f(s) = 0.
同理, 存在t∈(r,b), 使f'(t)-f(t) = 0.
考虑h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, h(s) = h(t) = 0.
由罗尔定理, 存在c∈(s,t), 使h'(c) = 0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c = 0, 故f"(c) = f(c).
方法不一定是最好的, 不过应该还可以接受吧.
f(x)在a的一个邻域内严格增, 在其中有f(x) > f(a) = 0.
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而f(x)连续, 由介值定理, 存在r∈(a,b), 使f(r) = 0.
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由g(x)在[a,r]连续, 在(a,r)可导, g(a) = g(r) = 0.
由罗尔定理, 存在s∈(a,r), 使g'(s) = 0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s) = 0, 即有f'(s)-f(s) = 0.
同理, 存在t∈(r,b), 使f'(t)-f(t) = 0.
考虑h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, h(s) = h(t) = 0.
由罗尔定理, 存在c∈(s,t), 使h'(c) = 0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c = 0, 故f"(c) = f(c).
方法不一定是最好的, 不过应该还可以接受吧.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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