题目

数学圆与直线关系的问题
已知A(-2,0)B(2,0)C(m,n),若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A,B）,直线x=2交直线AC于点R,线段BR的中点为D,试判断直线CD与圆O的位置关系,并证明.

提问时间：2021-03-29

答案

相切~
设直线AC的方程为y=kx+b,由于过点A,可得0=-2k+b,则b=2k,则直线AC方程为y=kx+2k（k不等于0）
那么R点坐标为：（2,4k）
又圆的方程为x^2+y^2=4,利用消元法消除x（更简单）得：x=(2-2k^2)/(k^2+1),y=4k/(k^2+1)
即点C的坐标为（(2-2k^2)/(k^2+1),4k/(k^2+1) ）
要证直线CD与圆O相切,只要直线CD与直线OC的斜率乘积为-1
直线OC的斜率为:2k/(1-k^2)
点D的坐标为：（2,2k）
直线CD的斜率为：k^2-1/2k显然可以知道CD与OC垂直,那么直线CD与圆相切~