题目

一道有关等差数列求通项的题（问题如下）
已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3.+anx^n (a后数字为角标),且a1,a2,a3...an组成等差数列,n为正偶数,又f(1)=n^2,f(-1)=n
求an的通项?答案是2n-1
我的问题在于能否直接求Sn-S(n-1)..老师说因为规定了n是正偶数就不能这么求.但如果从等差数列角度讲n为偶数时Sn成立,那么当n为奇数时Sn也成立,就可以用Sn-S(n-1),因为一个等差数列就一个求和公式.但如果这样f(-1)=n的条件就多余了.上述做法是否正确,如有不对那错在哪里?（要有严密论证）
恳请大家认真作答.
师说n为偶数就不可以推出Sn-1=(n-1)^2因为此时是奇数项,而f1=n^2是n为偶数时成的.

提问时间：2021-03-29

答案

x=1时可以知道f(1)=Sn, 但S(n-1)等于多少根据题意是没办法求出的.
本题要先根据f(-1)=n求出公差
（a2-a1）+(a4-a3)+.[an-a(an-1)]=n
d*n/2=n d=2
再根据f(1)=Sn=n^2 =na1+n(n-1)d/2 求出首项.
最后根据首项和公差求出an