题目

韩信点兵的法则——剩余定理?

提问时间：2021-03-29

答案

秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化.
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》.原题为："今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?"
这道题的意思是：有一批物品,不知道有几件.如果三件三件地数,就会剩下两件；如果五件五件地数,就会剩下三件；如果七件七件地数,也会剩下两件.问：这批物品共有多少件?
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求这个数.
这个问题很简单：用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案.
这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性.如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣得多.
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人.问：这队士兵至少有多少人?
这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小.
如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案.
例如我们从用3除余2这个条件开始.满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数.
要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试.当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意；当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件.
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件.我们要在8的基础上得到一个数,使之同时满足三个条件.
为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和.因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m,分别把m=1,2,…代进去试验.当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎题目要求.
我国古代学者早就研究过这个问题.例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀,
五树梅花甘一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知.
"正半月"暗指15."除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105；这相当于用105去除,求出余数.
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加.加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解.
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263,
263=2×105+53,
所以,这队士兵至少有53人.
在这种方法里,我们看到：70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数,而用3除余1；
21是3与7的倍数,而用5除余1；
15是3与5的倍数,而用7除余1.
因而
70×2是5与7的倍数,用3除余2；
21×3是3与7的倍数,用5除余3；
15×4是3与5的倍数,用7除余4.
如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求.一般地,
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求.除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解.
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢?要是换了一个题目,三个除数不再是3、5、7,应该怎样去求出类似的有用的数呢?
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数,我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求.5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我们得到了"三人同行七十稀".
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数,我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求.3与7的最小公倍数是3×7=21,21除以5恰好余1,于是我们得到了"五树梅花甘一枝".
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数,我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求.3与5的最小公倍数是3×5=15,15除以7恰好余1,因而我们得到了"七子团圆正半月".
3、5、7的最小公倍数是105,所以"除百零五便得知".
例如：试求一数,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.
我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以4余3,3×3除以4余1,因而35×3=105除以4余1,105是5与7的倍数而用4除余1的数.
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28,28除以5余3,3×7除以5余1,因而28×7=196除余5余1,所以196是4与7的倍数而用5除余1的数.
最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20,20除以7余6,6×6除以7余1,因而20×6=120除以7余1,所以120是4与5的倍数而用7除余1的数.
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的
105×3+196×2+120×5=1307.
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140,1307大于140,所以1307不是合乎题目要求的最小的解.用1037除以140得到的余数是47,47是合乎题目的最小的正整数解.
一般地,
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数.
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数.如果只是为了解答我们这个具体的例题,由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3,就不必求出105再乘以3了.
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数.
1027=7×140+47,
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47.
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了,我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀.留给读者自己去编吧.
凡是三个除数两两互质的情况,都可以用上面的方法求解.
上面的方法所依据的理论,在中国称之为孙子定理,国外的书籍称之为中国剩余定理.
参考资料：少年百科