题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t，（1分）
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ＝−6t2+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．（2分）
（（0＜t＜4）（1分）
（2）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，（1分）
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而

QM

AB

＝

QD

AC

，（2分）
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t．（2分）
若PD∥AB，则

CP

CA

＝

CM

CB

，得

12−3t

12

＝

4t+ 20 3 t

16

，（2分）
解得t=

12

11

．（1分）
∴当t=

12

11

秒时，PD∥AB．
（3）存在时刻t，使得PD⊥AB．时间段为：2＜t≤3．（2分）

（1）由三角形PCQ的面积列出关于t的一元二次方程，然后根据轴对称图形的性质知y=2S_△PCQ，即y=-12t²+48t；
（2）反证法．假设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易证明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=

20

3

t；
（3）通过画图，可以知存在时刻t，使得PD⊥AB．

本题考点：相似三角形的判定与性质；二次函数图象与几何变换；勾股定理；平行线分线段成比例．

考点点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与几何变换、勾股定理以及平行线分线段成比例．要注意的是t的取值范围是根据三角形的边长来确定的．