题目

定积分曲边形面积
计算由抛物线y=x^2,直线x=1,x轴所围图形的面积S.
Sn=1/n*[(1/n)^2+(2/n)^2+(3/n)^2+(n/n)^2]
f(i/n)为高将各个小矩形的面积相加,可得曲边三角形面积为1/3.
我不知道为什么高是(i/n)^2,为什么是分式的平方而不是其它呢,很迷惑.

提问时间：2021-03-29

答案

把[0,1]n等分为n个小区间[0,1/n],[1/n,2/n],……,[(n-1)/n,n/n]
每个小区间[(i-1)/n,i/n]对应的小曲边形的面积近似为一个矩形的面积,矩形的底边是小区间的长度1/n,高取为右端点i/n对应的抛物线上一点的纵坐标,即为f(i/n)＝(i/n)^2,所以
Sn＝1/n*[(1/n)^2＋(2/n)^2＋(3/n)^2＋……＋(n/n)^2],取极限得S＝1/3
如果高取为左端点对应的抛物线上点的纵坐标,即f((i-1)/n)＝((i-1)/n)^2也可以