题目

已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

提问时间：2021-03-29

答案

BD=CD．
证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，
∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，
∴四边形AEBC是正方形，
∵∠DAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AC，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEB=30°，
在△ADC和△EDB中，

AD=ED ∠DAC=∠DEB=30° AC=BE

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BD=CD．

作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，
所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD；

本题考点：["正方形的性质","全等三角形的判定与性质","等腰三角形的性质"]

考点点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．