题目

已知函数f（x）=-x²+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）．

提问时间：2021-03-29

答案

因为f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
①当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
则h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
②当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
③当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
综上，h(t)＝

−t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 −t2+8t，t＞4

．

把二次函数变为顶点形式，即可找出顶点的横坐标，得到函数的对称轴为直线x=4，分三种情况考虑：当区间在对称轴的左边即t+1小于4时，得到f（x）在[t，t+1]上单调递增，则h（t）等于f（t+1），化简得到h（t）关于t的关系式，并求出此时t的取值范围；当4在区间内即4大于等于t小于等于t+1时，h（t）等于顶点的纵坐标即f（4），求出其值并求出此时t的取值范围；当区间在对称轴的右边即t大于4时，得到f（x）在[t，t+1]上单调递减，则h（t）等于f（t），化简后得到h（t）关于t的关系式，并求出此时t的范围，综上，得到h（t）关于t的分段函数关系式．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：此题考查了二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．