题目

矩阵A任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数,请举例说明!

提问时间：2021-03-29

答案

矩阵A任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数,也就是矩阵的几何重数不超过代数重数.
所谓代数重数,就是指矩阵的某个特征值的重数,而几何重数,就是指这个特征值对应的特征子空间的维数.
考虑某个特征值λ0的特征子空间V',V'的维数就是λ0的几何重数m,再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）,扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子（λ-λ0)^m的,所以λ0就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”.
这个结论也可以用Jordan理论来看：设λ0是矩阵A的一个特征值,那么λ0对应的Jordan块的阶数总和=λ0在A的特征多项式中的重数（代数重数）；λ0对应的Jordan块的个数=A的属于λ0的特征子空间的维数（几何重数）.显然有几何重数不超过代数重数.
并且由此也可推出当且仅当所有特征值的几何重数与代数重数相等时,A的Jordan标准型的所有Jordan块均是一阶的（为对角矩阵）,即A可对角化.(这里引用“夏De夭”的说法）.