题目

设f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x²+1）f′（x）-2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为______．

提问时间：2021-03-29

答案

因为当x＞0时，有 （x²+1）f'（x）-2xf（x）＜0恒成立，即[

f(x)

x2+1

]′＜0恒成立，
所以y=

f(x)

x2+1

在（0，+∞）内单调递减．
因为f（-1）=0，
所以在（0，1）内恒有f（x）＞0；在（1，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-1）内恒有f（x）＞0；在（-1，0）内恒有f（x）＜0．
即不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．

首先根据商函数求导法则，把 （x²+1）f'（x）-2xf（x）＜0，化为[

f(x)

x2+1

]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=

f(x)

x2+1

在（0，+∞）内单调递减；再由f（-1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属中档题．