题目

已知数列xn满足x1=4 x(n+1)=(xn^2-3)/(2xn-4)
（1）求证 xn>3 （2）求证 x(n+1)

提问时间：2021-03-29

答案

x(n+1)-3=(x²n-6xn+9)/(2xn-4)=(xn-3)²/2(xn-2)=(xn-2-1)²/2(xn-2)
x(n+1)-3=(xn-2)/2-1+1/2(xn-2)≥1-1=0(xn=3时取等号,显然xn不等于3)
所以x(n-1)-3>0
xn>3
x(n+1)-xn=(x²n-3-2x²n+4xn)/(2xn-4)=(-x²n+4xn-3)/2(xn-2)
x(n+1)-xn=(-(xn-2)²+1)/(2xn-4)=-(xn-2)/2+1/2(xn-2)
xn>3,xn-2>1,(xn-2)/2>1/2,1/2(xn-2)