题目

如图,在△ABC中∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在边上,E,F两点分别在AB,AC上,AD交EF于点H.
1.求证：AH:AD=EF:BC
2.设EF=x,当X为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大面积
3.当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当Q,C重合时停止）设运动时间为T秒,矩形EFQP与△ABC重叠部分的面积为S,求S于T的函数关系式
图传不上来了：角A在最上面,角B在左边,角C在右.Q,D,P按照从左到右的顺序在BC上.E在AB上,F在AC上.自己画下~

提问时间：2021-03-29

答案

(1)证明：∵EFPQ是矩形 ∴EF//BC ∴∠AEF=∠B ∠AFE=∠C ∴⊿AED∽⊿ABC
又∵AD是⊿ABC的高 ∴AH是⊿AEF的高∴AH/EF=AD/BC ∴AH/AD=EF/BC
∵⊿AED∽⊿ABC BC=10,高AD=8 EF=x ∴AH/8=x/10 ∴AH=4/5x
DH=8-4/5x S面积=EF*DH=x(8-4/5x) ∴当EF=DH时面积最大 即x=8-4/5x
解得x=5
由（2）知最大面积为25 设移动t秒后EF交AC于M点 FP交AC于N点
MF=t ∵∠C=45° ∠EFP=90° EF//BC ∴⊿MFN为等腰直角⊿ ∴FN=t
∴S⊿MFN的面积=1/2t² ∴矩形EFQP与△ABC重叠部分的面积为S=25-1/2t²
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