题目
已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B.
(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A,求证:PA=PB;
(2)在(1)的条件下,若点C是AB与OP的交点,且满足PC=
PB,求:△POB与△PBC的面积之比;
(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO.请求出OP的长.
(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A,求证:PA=PB;
(2)在(1)的条件下,若点C是AB与OP的交点,且满足PC=
| ||
2 |
(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO.请求出OP的长.
提问时间:2021-03-29
答案
(1)证明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,(1分)
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,(2分)
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,(3分)
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,(4分)
∴PA=PB;(5分)
(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,(6分)
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,(7分)
∴∠POB=∠PBC,(8分)
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,(9分)
∴
=(
)2=(
)2=
,
∴△POB与△PBC的面积之比为4:3;(10分)
(3)①当点A在射线OM上时(如图乙1),
,
易求得:∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=OE+PE=
+1,(12分)
②当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2),
,
此时∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=
-1,(14分)
∴综上所述,当OB=2时,OP=
+1或
-1.
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,(2分)
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,(3分)
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,(4分)
∴PA=PB;(5分)
(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,(6分)
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,(7分)
∴∠POB=∠PBC,(8分)
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,(9分)
∴
S△POB |
S△PBC |
PB |
PC |
PB | ||||
|
4 |
3 |
∴△POB与△PBC的面积之比为4:3;(10分)
(3)①当点A在射线OM上时(如图乙1),
,
易求得:∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
3 |
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=OE+PE=
3 |
②当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2),
,
此时∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
3 |
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=
3 |
∴综上所述,当OB=2时,OP=
3 |
3 |
(1)可以把求证PA=PB的问题转化为证明△PAF≌△PBG即可;
(2)首先证明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解;
(3)分点A在射线OM上,点A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论,作OT的垂线,利用三角函数即可求解.
(2)首先证明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解;
(3)分点A在射线OM上,点A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论,作OT的垂线,利用三角函数即可求解.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
本题主要考查了全等三角形的判定,相似三角形的性质,以及三角函数,正确作辅助线,转化为直角三角形的计算,以及正确进行分类是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1点D为三角形ABC中AC边上一点,AD=1,CD=2,AB=4,点E是AB边上一点,且三角形ABC的面积等于三角形DEC面积的两倍,则BE的长为多少?
- 2选词填空(用适当形式):Do you want to be a pilot when you grow up?A pilot is a ()
- 3闻一多颁奖词50字
- 4英语翻译
- 5中国梦,我的梦600字作文
- 6把a l e d p e s 组成一个单词
- 7英语翻译
- 8已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为
- 97.The government killed 14,000 chickens to stop the bird flu from spreading. (保持原句意思)
- 10已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x²-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是