题目
如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD边上一点,CE=1,点F是BC的中点,求证:AF⊥EF.
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提问时间:2021-03-29
答案
证明:∵正方形ABCD的边长为4,CE=1,点F是BC的中点,
∴AB=BC=4,BF=FC=
BC=2,∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABF和Rt△FCE中,
=
=2,且∠B=∠C=90°,
∴△ABF∽FCE,
∴∠AFB=∠FEC,
∵∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠EFC+∠AFB=90°,
则∠AFE-180°-(∠EFC+∠AFB)=90°,即AF⊥EF.
∴AB=BC=4,BF=FC=
1 |
2 |
∴在Rt△ABF和Rt△FCE中,
AB |
FC |
BE |
CE |
∴△ABF∽FCE,
∴∠AFB=∠FEC,
∵∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠EFC+∠AFB=90°,
则∠AFE-180°-(∠EFC+∠AFB)=90°,即AF⊥EF.
由正方形的四条边相等得到AB=BC=4,再由F为BC中点,求出BF=FC=2,且四个角为直角,进而确定出两边对应成比例且夹角相等,得到三角形ABF与三角形ECF相似,由相似三角形的对应角相等得到一对角相等,再由同角的余角相等及垂直的定义即可得证.
相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
此题考查了相似三角形的判定与性质,以及正方形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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