题目

已知△ABC中，|

AC

|＝1，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=

AB

•

BC

．

（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；
（Ⅱ）求f（θ）的值域．

提问时间：2021-03-29

答案

（I）由正弦定理有：

|BC|

sinθ

＝

1

sin1200

＝

|AB|

sin(600−θ)

；
∴|BC|＝

1

sin1200

sinθ，|AB|＝

sin(600−θ)

sin1200

；
∴f（θ）=

AB

•

BC

=

4

3

sinθ•sin(600−θ)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosθ−

1

2

sinθ)sinθ=

1

3

sin(2θ+

π

6

)−

1

6

(0＜θ＜

π

3

)
（II）由0＜θ＜

π

3

⇒

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

；
∴

1

2

＜sin(2θ+

π

6

)≤1；
∴f（θ）∈(0，

1

6

]

（I）利用三角形的正弦定理求出三角形的边AB，BC，利用向量的数量积公式及和三角函数的和、差角公式表示出f（θ）．
（II）先求出角2θ+

π

6

，再利用三角函数的图象求出sin(2θ+

π

6

)，求出f（θ）的值域．

本题考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．

考点点评：本题考查三角函数的正弦定理、三角函数的和差角公式、向量的数量积公式、整体思想求三角函数的值域．