题目

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM.有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5；⑤∠ADF=∠BMF.其中正确结论的个数为（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

提问时间：2021-03-29

答案

①在△ADF和△DCE中，

∠ADF＝∠DCE ∠DAF＝∠EDC AD＝CD

，
∴△ADF≌△DCE，
故本选项正确；
②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中

AE＝AF ∠NAF＝∠NAE AN＝AN

，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故本选项错误；
③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=

1

2

AB=

1

2

DC，
∴

CN

AN

＝

CD

AF

＝2，
∴CN=2AN，
故本选项正确；
④连接CF，
设S_△ANF=1，
则S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四边形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故本选项正确；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，
根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
在△DAF与△GBF中，

∠ADF＝∠G ∠DAB＝∠GBF＝90° AF＝BF

，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选C．

①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE相似，即可得出结果．
②本题需先根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④本题需先连接CF，再设S_△ANF=1，即可得出S_△ADN与S_{四边形CNFB}的比值即可．
⑤在△DEN和△MFB中，根据已知条件，得出△DEN与△MFB全等，即可得出结果．

本题考点：正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键．