题目

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？

提问时间：2021-03-29

答案

设窗户上半部半圆的半径为x（m），下半部矩形的宽为y（m），窗户面积为S（m²），则4y+6x+πx=10，y=

10−6x−πx

4

∵S_半圆=

1

2

πx²，
S矩形=2x•

10−6x−πx

4

=−3x2−

1

2

πx2+5x
S=S_半圆+S_矩形=-3x²+5x=-3[（x-

5

6

）²-

25

36

]=-3（x-

5

6

）²+

25

12

．
∵-3＜0，
∴窗户面积有最大值．当x=

5

6

时，
S_最大=

25

12

（m²），
所以当窗户的半圆半径为

5

6

时，窗户的透光面积最大，最大面积是

25

12

平方米．