题目

已知a∈R，求函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

提问时间：2021-03-29

答案

Ⅰ、当2-3a=0，即 a＝

2

3

时，f(x)＝−2x+

2

3

在[0，1]上递减
∴fmin(x)＝f(1)＝−

4

3

（2分）
当2-3a≠0，即a≠

2

3

时，f（x）为二次函数                　　 （3分）
Ⅱ、若2-3a＞0，即a＜

2

3

时，f（x）的开口向上，其对称轴为x＝

1

2−3a

（4分）
①当2-3a＞1时，即  a＜

1

3

时，此时0＜

1

2−3a

＜1，
∴fmin(x)＝f(

1

2−3a

)＝

3a2−2a+1

3a−2

  （6分）
②当 0＜2-3a≤1，即

1

3

≤a＜

2

3

时，此时

1

2−3a

≥ 1，f_min（x）=f（1）=-2a         （8分）
Ⅲ、若2-3a＜0，即a＞

2

3

时，f（x）的开口向下，其对称轴为x＝

1

2−3a

  （9分）
f_min（x）=f（1）=-2a　　　　　　　　　　　　                　（10分）
综上可得：fmin(x)＝

3a2−2a+1 3a−2 ，a＜ 1 3 −2a，a≥ 1 3

                　　   （12分）

先对二次项系数进行分类讨论，再考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而确定函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评：本题重点考查函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握二次函数求最值的方法．