题目

设集合A={X∣2(log0.5x)2－14 log4x＋3≤0｝,若函数f（x）＝logax／a×logax／a2,其中a＞0,a≠1,当X∈A时,其值域为B＝｛y∣－1／4≤y≤2｝,求实数a的值.

提问时间：2021-03-29

答案

A={x∣2(log0.5x)^2－14 log4x＋3≤0｝
={x|2(log<2>x)^2-7log<2>x+3<=0}
={x|1/2<=log<2>x<=3}
={x|√2<=x<=8},
f（x）＝log(x／a)×log(x／a2)
=(logx-1)(logx-2)
=(logx-3/2)^2-1/4,
其中a＞0,a≠1,当x∈A时,其值域为
B＝｛y∣－1／4≤y≤2｝,
设t=logx,则t介于log√2,log8,
f(x)=g(t)=(t-3/2)^2-1/4∈B,
∴g(log√2）=2或g(log8)=2,
log√2-3/2=土3/2,或
log8-3/2=土3/2,
∴log√2=3,或log8=3,
∴a=2^(1/6),或a=2.
检验：a=2^(1/6)时t∈[3,18],g(18)>2,舍去；
a=2时t∈[1/2,3],g(t)∈B.
综上,a=2.