题目

已知函数f(x)=1/3mx^2-(2+m/2)x^2+4x+1,g(x)=mx+5,1).当m≥4时,求函数f(x)的单调递增区间
(2).是否存在m＜0，使得对任意的x1，x2∈[2,3]都有f(x1)-g(x2)≤1,若存在，求m的范围，若不存在，请说明理由

提问时间：2021-03-29

答案

已知函数f(x)=1/3mx³-(2+m/2)x²+4x+1,g(x)=mx+5,
(1).当m≥4时,求函数f(x)的单调递增区间
(2).是否存在m＜0,使得对任意的x1,x2∈[2,3]都有f(x1)-g(x2)≤1,若存在,求m的范围,若不存在,请说明理由
（1）f´(x)=mx²-(m+4)x+4=(mx-4)(x-1),令f´(x)=0得驻点 x=4/m≤1 和 x=1,
当m=4时,两个驻点重合,只有一个驻点x=1,f´(x)=4(x-1)²＞0,整个定义域（-∞,+∞）内单调递增；
当m＞4时,f"(x)=2mx-(m+4),x=4/m＜1
f"(4/m)=4-m＜0,x=4/m为极大值点,f"(1)=m-4＞0,x=1为极小值点,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,4/m)∪(1,+∞)；
（2）因为f(x)在(1,+∞)单调增加,所以在[2,3]也单调增加,
所以f(2)≤f(x1)≤f(3)①
g´(x)=m＜0,所以g(x)在[2,3]单调减少
所以g(3)≤g(x2)≤g(2)②
由①②,f(2)-g(2)≤f(x1)-g(x2)≤f(3)-g(3)③
f(3)-g(3)=(3/2)m-10,f(2)-g(2)=(-4/3)m-4
要使③成立,须f(2)-g(2)≤f(3)-g(3),
即(-4/3)m-4≤(3/2)m-10,解得m≥36/17,
所以m＜0时,不可能有f(x1)-g(x2)≤1