题目

在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若S_△OAD=4，S_△OBC=9，则凸四边形ABCD面积的最小值为______．

提问时间：2021-03-29

答案

如图，任意四边形ABCD中，S_△OAD=4，S_△OBC=9；
∴S_△OAB=OB•

4

OD

=4×

OB

OD

，S_△OCD=OD•

9

OB

=9×

OD

OB

；
设

OB

OD

=x，则S_△OAB=4x，S_△OCD=

9

x

；
∴S_{四边形ABCD}=4x+

9

x

+13≥2

4x

•

9 x

+13=12+13=25；
故四边形ABCD的最小面积为25．
故答案为：25．

分别表示出△OAB、△OCD的面积，即可得到四边形ABCD的面积表达式，然后利用换元法结合不等式的性质来求得四边形ABCD的最小面积．

本题考点：不等式的性质；三角形的面积．

考点点评：此题主要考查了三角形面积的求法、不等式的性质等知识，需要识记的内容有：不等式的性质：a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．（即算术平均数与几何平均数的关系）．