题目

如图，AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M与x轴的最短距离．

提问时间：2021-03-29

答案

设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3，如图，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′．F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=y1+p2＝y1+14，|BF|＝y3+1...

设A、M、B三点的纵坐标分别为y₁、y₂、y₃，如图，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′．
F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=y1+

p

2

＝y1+

1

4

，|BF|＝y3+

1

4

．又M是线段AB的中点，利用梯形的中位线定理可得y2＝

1

2

(y1+y3)＝

1

2

(|AF|+|BF|−

1

2

)≥

1

2

(|AB|−

1

2

)，解出即可．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：熟练掌握抛物线的定义、梯形的中位线定理及其三角形的三边的大小关系和三点共线是解题的关键．