题目

若直线y=3x+1是曲线y=x³-a的一条切线，求实数a的值．

提问时间：2021-03-29

答案

设切点为P（x₀，y₀），
对y=x³-a求导数是y'=3x²，∴3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）当x=1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）当x=-1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
综上可知，实数a的值为-3或1．

先对曲线进行求导，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．