题目

三道初三的一元二次方程难题,
（1）若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边,则次三角形为什么特殊三角形?
（2）已知方程ax²+bx+c=0(a≠0）的两根之和为S1,两根平方和为S2,两根立方和 为S3,求、aS3+bS2+cS1的值.
（3）已知实数a、b分别满足a²+2a=2,b²+2b=2,求(1/a)+(1/b)的值.
三道初三的一元二次方程难题
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只会做一两题也给分.

提问时间：2021-03-29

答案

（1）若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边,则次三角形为什么特殊三角形?
设相同的根是m,则有:
m^2+2am+b^2=0
m^2+2cm-b^2=0
二式相减得:
2m(a-c)+2b^2=0
即:m=b^2/(c-a)
代入方程中得:
[b^2/(c-a)]^2+2a*b^2/(c-a)+b^2=0
二边同除以b^2.
b^2/(c-a)^2+2a/(c-a)+1=0
b^2+2a(c-a)+(c-a)^2=0
b^2+2ac-2a^2+c^2-2ac+a^2=0
a^2=c^2+b^2
所以,三角形是一个直角三角形.
（2）已知方程ax²+bx+c=0(a≠0）的两根之和为S1,两根平方和为S2,两根立方和 为S3,求、aS3+bS2+cS1的值.
证明：设方程的两根为m,n,由题意可得
m³+n³=S3
m²+n²=S2
m+n=S1
因为m,n均为方程的根,将两根代入方程
am²+bm+c=0
an²+bn+c=0
变为
m[am²+bm+c]=0
n[an²+bn+c]=0
相加展开得
am³+an²+bm²+bn²+cm+cn=0
a(m³+n³)+b(m²+n²)+c(m+n)=0
即aS3+bS2+cS1=0
（3）已知实数a、b分别满足a²+2a=2,b²+2b=2,求(1/a)+(1/b)的值.
由题意得:a,b是方程x^2+2x=2的二个实根.
x^2+2x-2=0
由韦达定理得:
a+b=-2
ab=-2
1/a+1/b=(a+b)/ab=-2/(-2)=1