题目

帮我解答几个个微积分题吧.
∫ dx/1+sinx=?
求定积分MAX{1,X }的上线是3下限是-3的值是多少?
(x^2+y^2)dx-xydy=0求微分方程的通解
y-xy'=a(y^2+y')求通解
希望大侠们能写下过程 学生先谢谢了

提问时间：2021-03-29

答案

∫dx/(1+sinx)=∫[(1-sinx)/(1-sin²x)]dx
=∫[(1-sinx)/cos²x]dx
=∫sec²xdx+∫d(cosx)/cos²x
=tanx-senx+C (C是积分常数)
原式=∫(-3,1)1*dx+∫(1,3)xdx
=(x)│(-3,1)+(x²/2)│(1,3)
=1-(-3)+3²/2-1²/2
=8
设y/x=t,则dy=tdx+xdt
代入原方程整理得tdt=dx/x ==>ln│x│=t²/2+ln│C│ (C≠0是积分常数)
==>x=Ce^(t²/2)
故原方程的通解是x=Ce^(t²/2)=Ce^(y²/(2x²))
∵y-xy'=a(y^2+y') ==>(x+a)y'=y(1-ay)
==>dy/[y(1-ay)]=dx/(x+a)
==>[1/y+a/(1-ay)]dy=dx/(x+a)
==>ln│y│-ln│1-ay│=ln│x+a│+ln│C││ (C≠0是积分常数)
==>y/(1-ay)=C(x+a)
故原方程的通解是y/(1-ay)=C(x+a).