题目

证明：四个连续整数的乘积不可能等于两个连续整数的乘积
能想到的思路就是四个连续整数的乘积一定是24的倍数

提问时间：2021-03-29

答案

假设四个整数的最小的是n
那么这四个连续整数的乘积为 n(n+1)(n+2)(n+3)
因此,我们有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1= [ (n+1)的平方 + n ]的平方 ,
也就是说,n(n+1)(n+2)(n+3)+1 是个完全平方数
假设两个整数中最小的是m
那么两个连续整数的乘积为 m(m+1)
如果 n(n+1)(n+2)(n+3)= m(m+1)
那么n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 = m(m+1)+1
那么 m(m+1)+1 也是一个完全平方数
但是显然 m2< m(m+1)+1 < (m+1)2
矛盾!
因此 n(n+1)(n+2)(n+3) ≠m(m+1)
证毕