题目

已知B（-6，0）、C（6，0）是△ABC 的两个顶点，内角A、B、C满足sinB-sinC=

1

2

sinA，则顶点A的轨迹方程为______．

提问时间：2021-03-28

答案

∵B（-6，0）、C（6，0）是△ABC 的两个顶点，内角A、B、C满足sinB-sinC=

1

2

sinA，
∴由正弦定理得b-c=

1

2

a，即|AC|-|AB|=

1

2

|BC|=6，
∴点A在以B（-6，0）、C（6，0）为焦点，即2c=12，c=6；实轴长为6，即2a=6，a=3的双曲线的左支上，
∴b²=c²-a²=36-9=27．
又A、B、C构成三角形，故点C与A，B不共线，
∴顶点A的轨迹方程为：

x2

9

-

y2

27

=1（x＜-3）．
故答案为：

x2

9

-

y2

27

=1（x＜-3）．

△ABC中，利用正弦定理，将sinB-sinC=

1

2

sinA转化为b-c=

1

2

a，再由双曲线的概念即可求其轨迹方程．

本题考点：双曲线的标准方程；正弦定理．

考点点评：本题考查正弦定理，考查双曲线的概念与标准方程，考查理解与运算能力，属于中档题．