题目

一,解下列关于x的方程
1.ab^2x^2-(a^4+b^5)x+a^3b^3=0(ab不等于）
2.a^2(x^2-1)=a(x^2-3)+3
3.（2x^2-3x-2)n^2+(1-x^2)m^2=mn(1+x^2)
4.6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0
5.2x^4+7x^3-x^2-7x+2=0
6.(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5
全写出来的再追加50分
最好能在明天之前写好
第一题为（ab不等于0）

提问时间：2021-03-28

答案

说明：
（1）怀疑第5题题目应该是：2x^4+7x^3-4x^2-7x+2=0,原题目想了很久还分解不出来
（2）2、3题应该分情况讨论a、m、n的值,比较麻烦
（3）gbguo,你的最后那道题好像解得有点问题啊
1、
ab^2x^2 - (a^4+b^5)x + a^3b^3 = 0
(ax - b^3)(b^2x - a^3) = 0
解得：
x = b^3 / a,或 x = a^3 / b^2
2、
a^2(x^2-1)=a(x^2-3)+3
(a^2 - a)x^2 = a^2 - 3a + 3
（1） 若 a = 0 或 a = 1,则无解；
（2） 若 a > 1 或 a < 0,则：
a(a-1) > 0,a^2 - 3a + 3 = (a - 1.5)^2 + 3/4 > 0
所以：
x^2 = (a^2 - 3a + 3) / [a(a-1)] > 0
x = ±√{(a^2 - 3a + 3) / [a(a-1)] }
（3）若 0 < a < 1,则：
a(a-1) < 0,a^2 - 3a + 3 = (a - 1.5)^2 + 3/4 > 0
所以：
x^2 = (a^2 - 3a + 3) / [a(a-1)] < 0
故x无实数解（如果能用复数的话,x = ±i√{-(a^2 - 3a + 3) / [a(a-1)] }）
3、
（2x^2-3x-2)n^2+(1-x^2)m^2=mn(1+x^2)
( 2n^2 - m^2 - mn )x^2 - 3n^2 * x + (m^2 - 2n^2 - mn) = 0
(2n + m)(n - m)x^2 - 3n^2 * x + (m - 2n)(m + n) = 0
( (2n+m)x + (m+n) )((n-m)x + (m-2n) ) = 0
（1）若n = m = 0,则：x为任意值
（2）若n、m不同时为0,则：
① 2n = -m 时,x = (2n-m) / (n-m)
② n = m 时,x = (-n-m) / (2n+m)
③ 2n ≠ -m,且 n ≠ m时,x1 = (2n-m) / (n-m) ,x2 = (-n-m) / (2n+m)
4、
6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0
( 6x^4 - 13x^3 + 6x^2 ) + (6x^2 - 13x + 6) = 0
x^2(6x^2 - 13x + 6) + (6x^2 - 13x + 6) = 0
(x^2 + 1) (6x^2 - 13x + 6) = 0
因为：x^2 + 1 > 0,所以：
6x^2 - 13x + 6 = 0
(2x - 3) (3x - 2) = 0
x = 2/3 或 x = 3/2
5、怀疑题目是：
2x^4+7x^3-4x^2-7x+2=0
( 2x^4 + 7x^3 - 2x^2) - ( 2x^2 + 7x - 2 ) = 0
x^2 ( 2x^2 + 7x - 2 ) - ( 2x^2 + 7x - 2 )= 0
( x^2 - 1 )( 2x^2 + 7x - 2 ) = 0
(x + 1)(x - 1)( 2x^2 + 7x - 2 ) = 0
x1 = -1,x2 = 1,x3 = (-7+√65)/4,x4 = (-7+√65)/4
6、
(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5
(12x-1)(12x-2)(12x-3)(12x-4)=2*3*4*5
显然,左边是4个公差为1的等差数列的积,可令：
12x - 1 = 5
12x - 2 = 4
12x - 3 = 3
12x - 4 = 2
得：x = 1/2
也可以令：
12x - 1 = -2
12x - 2 = -3
12x - 3 = -4
12x - 4 = -5
则得：x = -1/12
为了证明x只有这2个解,我们令 y = 12x - 3
则：(y-1)y(y+1)(y+2) = 120 有2个根y=3、y=-4
展开,得：
y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y - 120 = 0
一定可分解为：
(y + 4)(y - 3)f(y) = 0
其中 f(y)是关于 y 的二次函数.
f(y) = （ y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y - 120 ）/ (y + 4)(y - 3)
= （ y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y - 120 ）/ (y^2 + y - 12)
= y^2 + (y^3 + 11y^2 - 2y - 120 ）/ (y^2 + y - 12)
= y^2 + y + (10y^2 - 10y - 120) / (y^2 + y - 12)
= y^2 + y + 10
= (y + 1/2)^2 + 9.75 > 0
故 y 只有2根 4和-3
所以x也只有2根 1/2 和 -1/12