题目

椭圆与直线弦长的问题
直线Y=x+m和椭圆x^2/4+y^2=1相交于A、B两点,当m变化时：
（1）求 AB绝对值 的最大值
（2）求三角形OAB面积最大值（O为原点）
有参考答案,但是看不太懂,求详细解法

提问时间：2021-03-28

答案

用参数方程可以做
设直线的参数方程为,直线恒过定点（0,m)
则设x=√2/2*t,y=m+√2/2*t
代入椭圆方程得
5t^2/8+√2mt+m^2-1=0
则|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)^2-4t1t2]=√(-32m^2/25+4/5)
(1)则m=0时,|AB|取到最大值2√5/5
(2)原点到直线的距离为√2|m|/2
则SOAB=1/2*√(-32m^2/25+4/5)*√2|m|/2=√2/10*√(-8m^4+5m^2)
当m^2=5/4,即m=土√5/2时,SOAB取到最大值1/2