题目

证明题
f(u,v)在区域D=上连续,证明∫(π/2)(0)f(sinx,cosx)dx=∫(π/2)(0)f(cosx,sinx)dx
就是定积分的上限是π/2,下限是0
顺便问下曲线y=1/x+ln(1+e^x)分别有哪几条渐近线

提问时间：2021-03-28

答案

证明：由于sinx,cosx是连续函数,而由已知f(u,v)在区域D=上连续,所以复合函数f(sinx,cosx)和f(cosx,sinx)是在0≤x≤π/2是连续的,因此在0≤x≤π/2上f(sinx,cosx)和f(cosx,sinx)积分都存在.做积分变换y=π/2-x有
∫(π/2)(0)f(sinx,cosx)dx=-∫(0)(π/2)f(sin(π/2-y),cos(π/2-y))dy=∫(π/2)(0)f(cosy,siny)dy=∫(π/2)(0)f(cosx,sinx)dx
证毕.
另外,曲线y=1/x+ln(1+e^x)有两条渐近线x=0和y=0.