题目

已知{an}是整数组成的数列,其前n项和2sn=an^2+an,数列{bn}满足b1=3/2,b(n+1)=bn+3^n
求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式;
若Cn=an*bn,数列cn的前n项和Tn,求（Tn/Cn）的极限.

提问时间：2021-03-28

答案

由2Sn=an²+an得 2S1=a1²+a1 a1=1
2S(n-1)=a(n-1)²+an
2an=2Sn-2S(n-1)=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
则an-a(n-1)=1
{an}是公差为1的等差数列
所以通项公式an=1+n-1=n
由b(n+1)-bn=3^n得
bn-b(n-1)=3^(n-1)
.
b2-b1=3
叠加bn-b1=3+3^2+...+3^(n-1)
=3*[3^(n-1)-1]/(3-1)
通项公式bn=3/2+(3^n-3)/2=(1/2)*3^n
若cn=an*bn=(n/2)*3^n
Tn=(1/2)[1*3+2*3^2+.+n*3^n
3Tn=(1/2)[1*3^2+2*3^3+...+n*3^(n+1)]
Tn-3Tn=(1/2)[3+3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1)]
-2Tn=(1/2)[3*(3^n-1)/(3-1)-n*3^(n+1)]
Tn=-(1/4)[(1/2)*3^(n+1)-3/2-n*3^(n+1)]
=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/8
Tn/cn=[3(2n-1)/n+3/(n*3^n)]/16
lim (n→+∞)Tn/cn=[3(2-1/n)]/16
=3*2/16
=3/8