题目

如图所示，在以一定加速度a行驶的车厢内，有一长为l，质量为m的棒AB靠在光滑的后壁上，棒与箱底面之间的动摩擦因数μ，为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？

提问时间：2021-03-28

答案

设在A、B处的弹力大小各是F_A、F_B，在B处静摩擦力大小是 f．
当夹角θ取较大的数值θ_大时，棒将发生A向下、B向右滑动，这时 f 的方向是水平向左．
由牛顿第二定律得：F_A1-f=ma　且　f=μF_B，F_B=mg　（竖直方向不动）
得　F_A1=m（a+μg）
车厢是非惯性系，在车厢里看棒受到非惯性力 F_惯=ma
以B点为轴，用合力矩为0得　F_A1Lcosθ_大=mg

L

2

sinθ_大+ma

L

2

cosθ
所以　tanθ_大=

2FA1

mg

=

a+2μg

g

，θ_大=arc tan

a+2μg

g

．
当夹角θ取较小的数值θ_小时，棒将发生A向上、B向左滑动，这时 f 的方向是水平向右．
由牛顿第二定律得　F_A2+f=ma　且　f=μF_B，F_B=mg　（竖直方向不动）
得　F_A2=m（a-μg）
以B点为轴，用合力矩为0得　F_A2Lcosθ_小=mg

L

2

sinθ_小+ma

L

2

cosθ
所以　tanθ_小=

2FA2

mg

=

a−2μg

g

θ_小=arc tan

a−2μg

g

综上所述，夹角θ应在的范围是：
arctan

a−2μg

g

≤θ≤arctan

a+2μg

g

．
答：为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角θ应在：arctan

a−2μg

g

≤θ≤arctan

a+2μg

g

范围内．