题目

lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2＞lga+lgb+lgc 请用推理证明的方法证明,

提问时间：2021-03-28

答案

若原式成立则：a＞0,b＞0,c＞0
lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2＞lga+lgb+lgc
等价于lg(a+b)+lg(b+c)+lg(c+a)-3lg2＞lga+lgb+lgc
等价于lg(a+b)(b+c)(c+a)＞lg8+lga+lgb+lgc
等价于(a+b)(b+c)(c+a)＞8abc
等价于2abc+a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²＞8abc
等价于a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²＞6abc
又a＞0,b＞0,c＞0
所以上式等价于a/c+b/c+b/a+c/a+a/b+c/c＞6
有（a/b+b/a)＞2
(a/c+c/a)＞2
(a/b+b/a)＞2
所以：a/c+b/c+b/a+c/a+a/b+c/c＞6成立
所以原式lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(c+a)/2＞lga+lgb+lgc成立
希望可以帮到你!