题目

在1,2,3,4,5,.,1994,1995这1995个数中找出所有使1995a/1995+a是整数a的值.
老师写的是：1995a/1995+a是整数
1995（a+1995）-1995*1995/1995a
这后面怎么解?
求大神详解,谢谢

提问时间：2021-03-28

答案

求所有正整数a ≤ 1995, 使得1995a/(1995+a)是整数.
由1995a/(1995+a) = 1995-1995²/(1995+a)为整数, 有1995²/(1995+a)为整数.
即1995+a为1995²的约数.
由1 ≤ a ≤ 1995, 有1996 ≤ 1995+a ≤ 3990, 只需求1996至3990之间的约数.
1995 = 3·5·7·19, 故1995² = 3²·5²·7²·19².
依次枚举1995²的约数(好多...):
若其中不含3, 5: 可能为1, 7, 19, 7² = 49, 7·19 = 133, 19² = 361,
7²·19 = 931, 7·19² = 2527, 7²·19² > 3990.
其中只有7·19² = 2527在范围内, 对应a = 532.
为使7²·19 = 931进入范围内, 需乘以3或4, 其中只有3是3²·5²的约数.
可得到约数3·7²·19 = 2793, 对应a = 798.
为使19² = 361进入范围内, 需乘以6至11的整数, 其中只有3² = 9是3²·5²的约数.
可得到约数3²·19² = 3249, 对应a = 1254.
为使7·19 = 133进入范围内, 需乘以16至30的整数, 其中只有5² = 25是3²·5²的约数.
可得到约数5²·7·19 = 3325, 对应a = 1330.
为使7² = 49进入范围内, 需乘以41至81的整数, 其中有3²·5 = 45和3·5² = 75是3²·5²的约数.
可分别得到约数3²·5·7² = 2205, 对应a = 210, 和约数3·5²·7² = 3675, 对应a = 1680.
为使19进入范围内, 需乘以106至210的整数, 其中没有3²·5²的约数.
最后1, 7, 7²·19²无论乘以3²·5²的哪个约数, 都不会进入范围内.
综上, a的可能取值为210, 532, 798, 1254, 1330, 1680.