题目

讨论lnx=ax (a>0)有几个实根
rt

提问时间：2021-03-28

答案

构造函数
f(x) = lnx - ax
f'(x) = 1/x - a
令 f'(x)=0,得到x=1/a
所以 x=1/a 为 f(x) 的一个极值点
且 f‘(x)=0 只有一个根,所以 f(x) 只有一个极值点


显然
当 x < 1/a 时 f'(x) > 0
当 x > 1/a 时 f'(x) < 0
即 f(x) 在 (0,1/a) 上单调增
f(x) 在 (1/a,+∞) 上间调减
所以 x=1/a 为 f(x) 的极大值点



函数只有一个极值点,那么极大值点就是函数的最大值点
所以f(x)的最大值为 
f(1/a) = ln(1/a) - 1
显然
如果 f(1/a) <0,那么f(x) = 0就无实根,因为函数的最大值都小于0,不可能有等于0的点
如果 f(1/a) =0,那么f(x) = 0就有且仅有一个实根
如果 f(1/a) >0,那么f(x)=0就有两个实根,因为x→0时,f(x)<0,x→+∞,f(x)<0
令f(1/a)=0,得到a=1/e
即当 a>1/e 时 f(1/a)<0,f(x) = 0无实根,即原方程 lnx = ax 无实根；
即当 a=1/e 时 f(1/a)<0,f(x) = 0有且仅有一个实根,即原方程 lnx = ax 有且仅有一个实根；
即当 a<1/e 时 f(1/a)<0,f(x) = 0有两个实根,即原方程 lnx = ax 有两个实根


下图中对应了以上三种情况,直线与曲线分别没有交点,只有一个交点,有两个交点