题目

不等式选讲
设x，y，z为正数，证明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

提问时间：2021-03-28

答案

证明：因为x²+y²≥2xy≥0（2分）
所以x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）≥xy（x+y）（4分）
同理y³+z³≥yz（y+z），z³+x³≥zx（z+x）（8分）
三式相加即可得2（x³+y³+z³）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）
又因为xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）
所以2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）