题目

求x-1的绝对值+x-2的绝对值+x-3的绝对值+x-4的绝对值+^+x-2005的绝对值
最小值,一定要快点啊!

提问时间：2021-03-28

答案

从简单情况开始研究：
y = |x - 1| + |x - 2|
画出图像,可以发现像个“碗”一样：“ \_/ ” ,当 1 ≤ x ≤ 2 时,y = 1,取得最小值
同理,对于y = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3|
可以发现在x = 2的时候处于最低点,像一个“尖角”一样
于是做出总结,类似于|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ··· + |x - n|
° 如果n是偶数,那么在中间的两个数中间任意取值（或取这两个值）,函数取得最小值
° 如果n是奇数,那么在最中间的点出取得最小值
在这一题,n = 2005,而1,2,3,...,2005中间的数为1003
故|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ··· + |x - 2005|最小值为
1002 + 1001 + ··· + 1 + 0 + 1 + ···+ 1001 + 1002
= 2 * 1002 * 1003
= 2010012
（注：最后利用等差数列求和公式1+2+···+n=n(n+1)/2）