题目

已知动圆M与y轴相切,且与定圆C：x^2+y^=2ax（a>0)外切,求动圆圆心M的轨迹方程
是 y^2. 步骤~~

提问时间：2021-03-28

答案

与Y轴相切(x-r)^2+(y-c)^2=r^2 以（r,c）为圆心,|r|为半径的圆
C:(x-a)^2+y^2=a^2
相切得到(r-a)^2+c^2=(|r|+a)^2,圆心距等于半径和,等号左边为圆心距的平方,右边为半径和的平方
以下是2种解法,都可以解得抛物线方程,1比较简单,容易理解,2稍微复杂点.2种解法都需要把原点去掉,因为M在原点时半径为0,不能算是圆.
1）数形结合,C在Y轴右边,则r必须大于0,才能使圆M与Y轴和圆C相切
则圆心满足(r-a)^2+c^2=(r+a)^2
化简c^2-4ar=0
轨迹为y^2-4ax=0 ,（原点除外）
2）利用定义：
平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线
这里定点是圆C的圆心(a,0),圆心M到C的距离为a+r,到y=0的距离为r,到y=-a的距离为a+r,那么,在定义里,F即圆心C(a,0),定直线为y=-a,抛物线对称轴为x轴,开口向右,且过原点,则可得抛物线方程y^2-4ax=0,（原点除外）
特例：由于圆C与Y轴已经相切,则若圆M与Y轴切于原点,则必与圆C相切,再根据外切的条件,得另一个方程,y=0（x0时与C内切,不符合条件.
综上所述,方程为y^2-4ax=0（原点除外）和y=0（x