题目

如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
（1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

＝

CO

BD

，
即

1

BE

＝

4

4−1

，
得BE=

3

4

，
则：AE=4-

3

4

＝

13

4

因此点E的坐标为（4，

13

4

）．
（2）存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

＝

CO

DB

，
即

t

BE

＝

4

4−t

，BE=t-

1

4

t²，S=

1

2

×4×（4+t-

1

4

t²）=-

1

2

（t-2）²+10．
故当t=2时，S有最大值10．