题目

如图,直角坐标系中,一锐角三角形AOB的一边与x轴正半轴重合,另一边OA与函数y=1/x的图像交于点p.以点p为圆心,以2po长为半径画弧交y=1/x的图像于点r,分别过点p、r做x轴、y轴的平行线,得到矩形pqrm,连接om.求证：（1）点q在直线om上；（2）角mob=1/3角aob

提问时间：2021-03-27

答案

1)
pqrm四点坐标:
p(xp,1/xp);
q(xp,1/xr);
r(xr,1/xr);
m(xr,1/xp);
则Op斜率为1/(xp·xr)
Om斜率为1/(xr·xp)
它们斜率相同,又都过点O
所以Op与Om为同一条直线.
∴点q在直线om上
2）
以2po长为半径画弧交y=1/x的图像于点r,则
√(xr^2+1/xr^2)=2√(xp^2+1/xp^2)
而|pr|=√[(xp-xr)^2+(1/xp+1/xr)^2]
=√[(xp^2+1/xp^2)-2xp·xr-2/(xp·xr)+(xr^2+1/xr^2)]
=√[(3/2)(xr^2+1/xr^2)-2(xp·xr+1/(xp·xr))]
设矩形的中心是T;则容易证明∠pTO=2∠mqr=2∠mob
只要从数量关系上证明出pT=pO,或pr=or,即∠pTO=∠AOm,就可以了