题目

如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD．求证：AB=BC．

提问时间：2021-03-27

答案

证明：如右图所示，过A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，
∴∠B=∠C=∠E=90°，
∴四边形ABCE是长方形，
∵∠AMB=75°，∠DMC=45°，
∴∠AMD=60°，∠CDM=45°，
又∵AM=MD，
∴△AMD是等边三角形，
∴∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，
∵∠DMC=45°，
∴∠AMB=180°-45°-60°=75°，
∴∠AMB=∠ADE，
在△ADE与△AMB中，

∠B＝∠E＝90° ∠AMB＝∠ADE AM＝MD

∴△ADE≌△AMB，
∴AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴AB=BC．

先过A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，由于AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，易证四边形ABCE是长方形，而∠AMB=75°，∠DMC=45°，可求∠AMD=60°，∠MDC=45°，而AM=DM，那么△AMD是等边三角形，于是∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，利用AAS可证△ADE≌△AMB，可得AB=AE，易证四边形ABCE是正方形，从而有AB=BC．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、长方形的判定、等边三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线，构造正方形．