题目

已知函数f（x）在（0，+∞）上满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在定义域内是减函数．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2a-3）＜0，试确定a的取值范围．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）∵函数f（x）在（0，+∞）上满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）∵f（x）在定义域内是减函数，f（2a-3）＜0=f（1），
∴

2a−3＞0 2a−3＞1

，解得a＞2．
∴a的取值范围是（2，+∞）．

（1）由函数f（x）在（0，+∞）上满足f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，能求出f（1）=0．
（2）由f（x）在定义域内是减函数，f（2a-3）＜0=f（1），知

2a−3＞0 2a−3＞1

，由此能求出a的取值范围．

本题考点：抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查抽象函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．