题目

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x,y∈R,都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＞0.
判断f（x）在（-∞，0）上的单调性

提问时间：2021-03-27

答案

解判定f（x）是减函数
由f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1
就f（1*1）=f（1）+f（1）
即f（1）=2f（1）
即2f（1）-f（1）=0
即f（1）=0
再在f（xy）=f（x）+f（y）
令y=1/x
则f（x*1/x）=f（x）+f（1/x）
即f（x）+f（1/x）=f（1）=0
即f（1/x）=-f（x）.(*)
设x1,x2属于（负·无穷大,0）且x1＞x2
即f（x2）-f（x1）
=f（x2）+f(1/x1）（此步利用*式）
=f（x2/x1）（此步利用f（xy）=f（x）+f（y））
又有x＞1,时,f（x）＞0
由x2＜x1＜0,即x2/x1＞1
即f（x2/x1）＞0
即f（x2）-f（x1）=f（x1/x2）＞0
即f（x2）＞f（x1）
即f（x）在x属于（负无穷大,0）是减函数.