题目

如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．

提问时间：2021-03-27

答案

证明：过P作PG⊥AB于G，交BD于O，
∵PF⊥AC，∠A=90°，
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°，
∴四边形AGPF是矩形，
∴AG=PF，PG∥AC，
∵BD=DC，
∴∠C=∠GPB=∠DBP，
∴OB=OP，
∵PG⊥AB，PE⊥BD，
∴∠BGO=∠PEO=90°，
在△BGO和△PEO中

∠BGO＝∠PEO ∠GOB＝∠EOP OB＝OP

∴△BGO≌△PEO，
∴PE=BG，
∵AB=BG+AG，
∴PE+PF=AB．

过P作PG⊥AB于G，交BD于O，证出矩形AGPF，推出AG=PF，PG∥AC，根据已知求出∠OBP=∠OPB，推出OB=OP，证△BOG≌△POE，推出BG=PE即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；垂线；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质．

考点点评：本题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂线，等腰三角形的性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线，并进一步求出AG=PF，BG=PE，题目综合性比较强．